Sistemi hamiltoniani integrabili

La seguente tesi presenta una trattazione introduttiva ai sistemi hamiltoniani integrabili. Essa è comprensiva di una parte propedeutica riguardante la geometria simplettica nello spazio delle fasi, nella quale si espongono, tra gli altri, i concetti di forma differenziale, struttura simplettica, varietà simplettica, campo vettoriale hamiltoniano, flusso di fase, parentesi di Poisson, algebra di Lie, per giungere all’enunciato del teorema di Darboux. Proseguendo, si definiscono i sistemi integrabili utilizzando il teorema di Liouville e ne vengono studiate le caratteristiche attraverso il concetto di coppia di Lax. In questa sezione si definisce la struttura simplettica di Kostant-Kirillov, servendosi di nozioni quali i gruppi di Lie, i gruppi dei lacci e le loro azioni di gruppo sulle rispettive algebre di Lie. Infine si porta, come applicazione, la risoluzione delle equazioni del moto di un sistema dinamico integrabile costituito da un numero finito di punti massivi, vincolati sulla retta, che interagiscono attraverso un potenziale esponenziale. Nel farlo si accenna una definizione di catena di Toda.