Introduzione alla geometria simplettica in fisica

La geometria simplettica è una branca della geometria differenziale che si propone di generalizzare le proprietà geometriche, ovvero indipendenti dalle coordinate, del moto dei sistemi meccanici. Questo elaborato si propone di esplorarne le radici fisiche e dare un esempio delle sue applicazioni in tale campo. Si passano in rassegna, ponendole su base formale, le formulazioni newtoniana, lagrangiana ed hamiltoniana della meccanica classica, e viene data una formulazione geometrica della meccanica di sistemi non vincolati. Viene poi esposta la teoria delle varietà differenziabili e si definiscono vettori, forme differenziali e operazioni su di essi. In seguito, si definisce la struttura simplettica canonica dei fibrati cotangenti e si espongono alcune sue proprietà, si introduce la teoria di gruppi e algebre di Lie, si definisce la mappa momento, che associa alle simmetrie di un sistema quantità conservate nella sua evoluzione, e si enuncia il teorema di riduzione simplettica, che consente di sfruttare queste quantità conservate per ridurre la dimensionalità del problema del moto. Infine la meccanica hamiltoniana viene riformulata nel linguaggio della geometria simplettica e il teorema di riduzione simplettica viene applicato all'analisi del moto del corpo rigido libero.