Shellability dei gruppi di Coxeter

Associare un complesso simpliciale ad un oggetto di cui si vogliono studiare certe proprietà è una procedura spesso utilizzata in diverse branche della matematica. Tra le proprietà che può soddisfare un complesso simpliciale ci siamo occupati della shellability. Un complesso è shellable se può essere ricostruito tramite le sue facce massimali, ordinate in maniera tale che una faccia sia distinta dalle precedenti se differisce da una di queste per un solo vertice. Questa costruzione può essere applicata al complesso d'ordine di un insieme parzialmente ordinato. In questo caso l'ordinamento può essere dato tramite un particolare etichettaggio che permette di ordinare le catene del poset secondo l'ordine lessicografico. Trovare una regola standard per definire un etichettaggio funzionale è possibile restringendo l'attenzione ai gruppi di Coxeter, muniti della relazione data dall'ordinamento di Bruhat. In questo caso specifico è possibile costruire un etichettaggio in base alle espressioni degli elementi del gruppo come combinazione dei generatori. In particolare il gruppo simmetrico e alcuni suoi sottoinsiemi forniscono esempi particolarmente notevoli.