Disuguaglianza di Gaffney ed Equazioni di Maxwell

Uno degli argomenti centrali di questa tesi è lo studio della disuguaglianza di Gaffney, una disuguaglianza fondamentale in diversi ambiti matematici e fisici che stabilisce una relazione tra la norma di una forma differenziale in uno spazio di Sobolev e quelle del suo differenziale e del suo codifferenziale. Ad esempio, , come mostriamo in questo elaborato, essa si utilizza come passo chiave per la dimostrazione della decomposizione di Hodge-Morrey di una forma differenziale. Nella tesi ne vediamo anche un'applicazione alle equazioni di Maxwell, per la buona positura di tali equazioni con condizioni al bordo. L'elaborato è suddiviso in tre capitoli. Il primo capitolo introduce le forme differenziali e i concetti di differenziale esterno e codifferenziale. Nel secondo capitolo, si analizzano la disuguaglianza di Gaffney e le sue applicazioni, compresa un'applicazione alla decomposizione di Hodge-Morrey. Il terzo capitolo è dedicato alle equazioni di Maxwell e alla loro descrizione in termini di forme differenziali. Si analizza in particolare il caso di tali equazioni per campi con dipendenza sinusoidale dal tempo, e si mostra l'importanza della disuguaglianza di Gaffney per garantire la buona positura del problema con condizioni al bordo.