Decomposizioni tensoriali e metodi per il riconoscimento di Immagini

Negli ultimi anni l’analisi di enormi quantità di dati è diventato un problema sempre più ricorrente in innumerevoli ambiti, come il Machine Learning e il pattern recognition. L’oggetto matematico che meglio si presta a lavorare con Dataset di grandi dimensioni sono i tensori, che possono essere immaginati come la generalizzazione a più dimensioni di una tabella. In questa tesi vengono presentati i tensori sia come oggetto matematico astratto che come struttura concreta per raccogliere e analizzare dati. Nel primo Capitolo vengono introdotti i tensori dal punto di vista teorico, e viene data particolare rilevanza ad alcune operazioni fondamentali come il mode-n unfolding e il prodotto modale, oltre che alla definizione di tensore di rango uno. I Capitoli 2 e 3 trattano le due più importanti decomposizioni tensoriali, rispettivamente la decomposizione canonica (detta CP) e l’HOSVD. La prima si basa sulla definizione di tensore di rango uno. La seconda è considerata la generalizzazione della SVD matriciale ai tensori. In entrambi i capitoli vengono analizzati diversi aspetti delle due decomposizioni, dall’unicità, all’utilizzo di esse per approssimare un tensore, fino ad alcuni aspetti algoritmici, quali l’implementazione, il costo computazionale, . . . . Nell’ultimo Capitolo viene presentato il riconoscimento di immagini, un’applicazione classica nel Data Science, ed in particolare ci concentreremo sul problema del riconoscimento di caratteristiche. Più precisamente viene analizzato il riconoscimento da parte della macchina di immagini di cifre scritte a mano tramite differenti algoritmi. Il Dataset utilizzato per valutare i diversi metodi `e MNIST. Viene trattato con particolare attenzione un algoritmo basato sull’HOSVD, un esempio di applicazione dei tensori nel Data Mining. La tesi si conclude con un’analisi tecnica dell’algoritmo, al fine di cercare i parametri di inizializzazione che rendano l’HOSVD maggiormente efficiente.