Categorie e algebra omologica

Questa tesi si propone di fornire un'introduzione approfondita al linguaggio delle categorie, con particolare enfasi sull'algebra omologica. L'obiettivo principale è sviluppare un'analisi dettagliata delle categorie di complessi, trattate nel contesto delle categorie additive e abeliane, nonché la costruzione rigorosa dei funtori derivati. Si parte dall'introduzione dei concetti fondamentali delle categorie e dei funtori, esplorando strumenti chiave come il Lemma di Yoneda e i funtori rappresentabili e aggiunti. Successivamente, si affronta lo studio dei limiti proiettivi e induttivi, esaminando strutture rilevanti come i nuclei, i conuclei, i prodotti e i coprodotti, e introducendo funtori esatti in diverse situazioni categoriali. La tesi approfondisce anche lo studio delle categorie additive, illustrando costruzioni omologiche fondamentali come il funtore shift, il mapping cone e il complesso semplice associato a un doppio complesso. Il lavoro culmina con l'analisi delle categorie abeliane, concentrandosi sulla categoria dei moduli e su alcuni teoremi come il "lemma dei cinque" e il "lemma del serpente" per dimostrare risultati significativi nell'algebra omologica. Viene infine trattato il concetto di risoluzioni iniettive e la loro applicazione nella costruzione dei funtori derivati, fornendo un quadro teorico completo per l'algebra omologica.