Optimal portfolio problem with a stochastic benchmark: analysis of the solution and financial implications

Partendo dal problema del portfolio di Merton, analizziamo la proposta nel paper An extended Merton problem with relaxed benchmark tracking, in cui vengono introdotti due elementi chiave. Il primo è un benchmark stocastico, modellato come un Moto Browniano Geometrico, che rappresenta una soglia minima di ricchezza che l'investitore deve rispettare. Il secondo elemento è un meccanismo di controllo attraverso l'iniezione di capital, che permette di riportare la ricchezza dell'investitore sopra la soglia del benchmark. L'analisi teorica del problema esteso si basa ancora sull'uso dell'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) per derivare le strategie ottimali di consumo e investimento, ma la presenza del benchmark introduce la necessità di affrontare il problema come un processo riflesso. Questo richiede l'applicazione di tecniche legate al problema di Skorokhod, che consente di riformulare il problema in una versione ausiliaria. La PDE risultante può essere ulteriormente semplificata tramite una trasformazione di Legendre, che la rende lineare e più gestibile con tecniche di analisi standard. La soluzione del problema esteso viene ottenuta utilizzando la formula di rappresentazione di Feynman-Kac per risolvere l'equazione differenziale alle derivate parziali (PDE) associata alla HJB, con una condizione al contorno alla Neumann che riflette il comportamento della ricchezza quando raggiunge la soglia del benchmark. Infine, il verification theorem conferma che la soluzione trovata è effettivamente ottimale. Infine, l’analisi numerica sui controlli ottenuti ci mostra come le strategie ottimali si modifichino rispetto al modello classico di Merton. Alcune conclusioni più qualitative, seppur vaghe, possono essere tratte sul comportamento degli investitori in queste nuove condizioni.