Stabilità alla Ljapunov e Teoria delle Piccole Oscillazioni

Questo elaborato si pone lo scopo di trattare la teoria delle piccole oscillazioni, ovvero la natura del moto di sistemi meccanici nell’intorno di una configurazione di equilibrio stabile. A partire dalla definizione di sistema dinamico descritto mediante equazioni differenziali, passando poi al caso dei sistemi meccanici, si discute il concetto di configurazione di equilibrio. In particolare, è interessante studiare la stabilità di una configurazione di equilibrio per un generico sistema dinamico: una definizione rigorosa di tale nozione la fornisce Ljapunov, il quale illustra anche le condizioni sufficienti per la stabilità di un sistema dinamico. Lo studio delle configurazioni di equilibrio per i sistemi meccanici, viene fatto, prima, considerando la condizione di stabilità di Dirichlet e il teorema di Dirichlet-Lagrange e, in seguito, utilizzando il primo principio variazionale di Hamilton, a partire dalla funzione lagrangiana e dalle equazioni di Eulero-Lagrange. Da qui si studia il problema della linearizzazione della lagrangiana di un sistema meccanico: lo studio della lagrangiana linearizzata permette di approssimare il moto che compie un corpo vicino a una configurazione di equilibrio stabile col moto di un sistema di oscillatori armonici, di cui vengono studiate le piccole oscillazioni.