Funzioni a variazione limitata e assolutamente continue

In questa tesi studiamo gli spazi delle funzioni a variazione limitata BV([a,b]) e delle funzioni assolutamente continue AC([a,b]), con [a,b] intervallo reale, evidenziandone le principali proprietà. La tesi è strutturata in tre capitoli. Il primo capitolo analizza le funzioni monotone, dimostrando che esse possono avere al massimo una quantità numerabile di punti di discontinuità e che la loro derivabilità è garantita quasi ovunque, con la derivata sommabile. Per dimostrare il teorema di Lebesgue sulla derivabilità, introduciamo e dimostriamo il lemma di ricoprimento di Vitali. Il secondo capitolo approfondisce le funzioni a variazione limitata BV([a,b]). Dimostriamo la decomposizione di Jordan, che afferma che ogni funzione a variazione limitata può essere espressa come differenza di due funzioni crescenti. Utilizzando i risultati del primo capitolo, estendiamo le proprietà di continuità e derivabilità alle funzioni BV([a,b]) e definiamo la funzione dei salti per questa classe di funzioni. Il terzo capitolo è dedicato allo spazio delle funzioni assolutamente continue AC([a,b]). Mostriamo che una funzione assolutamente continua è uniformemente continua e, quindi, continua. Sottolineiamo inoltre che AC([a,b]) è un sottospazio vettoriale di BV([a,b]) e discutiamo il ruolo delle funzioni assolutamente continue nell'integrazione di Lebesgue. Infine, esaminiamo il legame tra AC([a,b]) e BV([a,b]) e tra AC([a,b]) e lo spazio di Sobolev W1,1(a,b).