I Teoremi di Arzelà e di Ascoli ed Applicazioni

Cesare Arzelà e Giulio Ascoli sono i fautori del teorema che da loro prende il nome (Teorema di Arzelà-Ascoli) e che si intende studiare in ogni dettaglio in questo elaborato. Quando si studia lo spazio delle funzioni continue, è naturale chiedersi se un sottoinsieme di questo spazio sia compatto (in quanto un insieme compatto possiede molte proprietà interessanti) e il Teorema di Arzelà-Ascoli stabilisce proprio una condizione necessaria e sufficiente per la compattezza negli spazi di funzioni continue. Al fine di dimostrare tale teorema, illustriamo le definizioni di equicontinuità e uniforme limitatezza, le quali giocano un ruolo fondamentale in tutta la tesi. Enunciamo poi il Teorema di Ascoli, con relativi corollari ed esempi, ed il Teorema di Arzelà, giungendo così a dimostrare l'atteso Teorema di Arzelà-Ascoli (il quale afferma che un sottoinsieme dello spazio di Banach delle funzioni continue da uno spazio metrico compatto a R^p è compatto se e solo se è chiuso, uniformemente limitato ed equicontinuo). Presentiamo in seguito il Teorema di Peano, un’applicazione del Teorema di Ascoli ove il centro dell’attenzione è rivolto alle equazioni differenziali ordinarie. Infine, nell'ultimo capitolo, ricordiamo cosa sia una funzione olomorfa e definiamo una famiglia di funzioni normale, giungendo così alla dimostrazione del Teorema di Montel (il quale afferma che se una famiglia di funzioni olomorfe è uniformemente limitata allora è normale), anch'esso applicazione del Teorema di Ascoli.