Curve Piane con Misura di Jordan Positiva

Questa tesi tratta di alcuni concetti di Teoria della Misura, con una attenzione particolare alla misura di Jordan, e delle curve che riempiono il piano, una categoria di curve continue, non auto-intersecanti, che passano per ogni punto del piano. Nel primo capitolo vengono fornite definizioni e notazioni utili alla comprensione dell’intero elaborato. Nel secondo capitolo viene definita la misura di Jordan, ne vengono enunciate le principali proprietà, ovvero finita additività, monotonia e invarianza per traslazioni, e viene fornito un teorema sulla caratterizzazione della misurabilità. Il capitolo si conclude evidenziando la limitazione di questa misura e di conseguenza ciò che la distingue da una vera misura, la numerabile additività. Nel terzo capitolo vengono introdotte le curve che riempiono il piano, con attenzione all’esempio della Curva di Hilbert, ponendo attenzione a come viene costruita geometricamente questa curva. Si definisce un metodo per aritmetizzare la curva e si fornisce una dimostrazione, sia analitica che geometrica, della non differenziabilità della curva in ogni punto.