Metodi numerici proiettivi con componente probabilistica per equazioni matriciali lineari

L'obiettivo della tesi è lo studio e lo sviluppo di metodi numerici proiettivi per risolvere equazioni matriciali lineari, con un particolare focus sull'integrazione di componenti probabilistiche. La tesi si concentra sull'uso degli spazi di Krylov, un approccio iterativo che permette di costruire approssimazioni a rango basso delle soluzioni di equazioni matriciali di grandi dimensioni, sfruttando la struttura sparsa delle matrici. Questi metodi sono centrali per la risoluzione di problemi scientifici e ingegneristici, come equazioni di Sylvester e Lyapunov. Una parte significativa del lavoro è dedicata all'introduzione del randomized sketching, una tecnica che utilizza proiezioni casuali per ridurre la dimensionalità dei problemi, mantenendo però le proprietà essenziali delle equazioni originali. Questa tecnica viene applicata in combinazione con i metodi di Krylov troncati per migliorare la convergenza e ridurre i costi computazionali senza comprometterne l'efficacia. In particolare, vengono esplorate le proprietà degli spazi di proiezione e delle trasformate di Johnson-Lindenstrauss, che consentono di ottenere rappresentazioni compatte delle matrici. Successivamente, la tesi propone algoritmi innovativi come il metodo Sketched Arnoldi per il calcolo del residuo, dimostrando che l'integrazione dello sketching negli spazi di Krylov accelera notevolmente la risoluzione di equazioni matriciali lineari, soprattutto nei casi multitermine. I risultati numerici confermano l'efficacia dell'approccio, mostrando un miglioramento nella velocità di convergenza rispetto ai metodi classici, soprattutto per le equazioni di Sylvester, evidenziando il potenziale dello sketching e della sua combinazione con metodi iterativi per affrontare problemi di grande scala nel contesto delle equazioni matriciali lineari.