Il Teorema di Radon-Nikodym e applicazioni alla derivabilità delle funzioni monotone

Lo scopo di questa Tesi è di studiare il ruolo che la Teoria della Misura, precisamente il Teorema di Decomposizione di Lebesgue, riveste nel dimostrare il risultato di derivabilità quasi dappertutto delle funzioni reali monotone. Per provarlo, abbiamo utilizzato risultati di Teoria della Misura astratta, ognuno degno di interesse autonomo. Il punto di partenza è il Teorema di Decomposizione di Lebesgue per la cui dimostrazione ci siamo avvalsi del fatto che il duale di L^1 è isometrico (per misure σ-finite) a L^∞. La prova di quest’ultimo fatto utilizza la Rappresentazione di Riesz per i funzionali di L^2. Gli altri elementi cruciali per la prova della derivabilità quasi ovunque delle funzioni monotone sono: -la teoria dei punti di Lebesgue per funzioni in L^1_loc; - il Teorema della Rappresentazione di Riesz per i funzionali positivi su C^∞_0. Sia allora f: [a, b]→R crescente; si considera il funzionale monotono naturalmente associato su C^∞0. Dal Teorema di Riesz per i funzionali positivi, questo funzionale è rappresentato da una misura di Radon definita su Boreliani di (a, b), che chiamiamo µ. Questo dice che esiste la derivata distribuzionale di f ed essa è la misura di Radon µ. Per ottenere una funzione di L^1, usiamo il Teorema di Decomposizione di Lebesgue: in base ad esso possiamo decomporre µ nella sua parte singolare e assolutamente continua. Poniamo ϕ = dµ/dL^1, derivata di Radon-Nikodym di µ rispetto a L^1. Nell’ultimo capitolo della Tesi dimostriamo che questa funzione ϕ è, quasi ovunque, il limite del rapporto incrementale di f, che quindi risulta derivabile quasi dappertutto. Per dimostrare questo fatto serve la teoria dei Punti di Lebesgue richiamata brevemente nel capitolo 3.