Teorema di Baire e sue notevoli applicazioni

In questa tesi verrà trattato il Teorema di Baire e verranno approfondite alcune sue applicazioni. Verranno inoltre enunciati e dimostrati il Teorema di Banach-Steinhaus, il Teorema della mappa aperta, entrambe conseguenze dirette del Teorema di Baire, e, infine, il Teorema del grafico chiuso, conseguenza diretta del Teorema della mappa aperta. Per ciascuno di questi teoremi, verranno presentate varie conseguenze, alcune teoriche, altre riguardanti problemi numerici posti in matematica applicata. La tesi è così strutturata. Nel primo capitolo verranno presentati vari risultati preliminari, parte dei quali visti nel percorso di studi triennale, con lo scopo primo di mettere in evidenza in che modo i teoremi principali studiati nella tesi entrano in gioco nelle varie applicazioni. Nel secondo capitolo verrà enunciato il Teorema di Baire e verranno presentate le prime sue conseguenze. Vedremo ad esempio che non può esistere una norma che renda lo spazio dei polinomi in una o più variabili uno spazio di Banach, inoltre dimostreremo l'esistenza di una funzione continua che non è derivabile in alcun punto. Nel terzo capitolo entreremo nel vivo dell'analisi funzionale lineare con lo studio del Teorema di Banach-Steinhaus. In questo capitolo vedremo le prime applicazioni numeriche presenti nella tesi, riguardanti integrali e interpolazioni polinomiali. Nel quarto capitolo verrà studiato il Teorema della mappa aperta. Studieremo un'applicazione riguardante una classe di problemi al bordo e una riguardante le norme equivalenti, fornendo una condizione sufficiente per l'equivalenza di due norme. Nel quinto e ultimo capitolo studieremo il Teorema del grafico chiuso. Questo risultato permetterà di dimostrare la continuità di una classe di endomorfismi lineari, gli endomorfismi autoaggiunti su uno spazio di Hilbert.