Misura di Hausdorff e frattali autosimili

Gli schemi e le strutture presenti in natura non sono semplici, ma estremamente sofisticati. Una caratteristica che li contraddistingue è l'autosimilarità. In questa trattazione verranno approfonditi gli insiemi autosimili. Nel primo capitolo verrà introdotta una misura adatta a stabilire la dimensione di un insieme, compatibile con la misura di Lebesgue: la misura di Hausdorff. Dopo averne provato le proprietà fondamentali, si vedranno dei risultati che riguardano la buona positura di dimensione di Hausdorff di un insieme, e si vedrà il caso particolare del calcolo della dimensione di un insieme ben noto, l'insieme di Cantor. Nel secondo capitolo si mostrerà l'esistenza e l'unicità, a partire da una famiglia di similitudini, di un insieme autosimilare associato, e si dimostrerà un risultato che permette, sotto opportune condizioni, di ottenere con un calcolo estremamente facile la dimensione di queste strutture. Infine nel terzo capitolo verranno presentati i più celebri esempi di frattali autosimilari, e, grazie agli strumenti ottenuti, se ne calcolerà la dimensione.