Transizioni di fase e matrici aleatorie

In questa tesi verranno presentati due risultati classici provenienti dalla teoria delle matrici aleatorie. Il primo risultato, riguarda un tipo speciale di matrice aleatoria simmetrica, detta matrice di Wigner. Questo teorema, anche denominato "legge del semicerchio", fornisce una precisa descrizione della distribuzione degli autovalori di una matrice di Wigner, mano a mano che la dimensione della matrice aumenta. Il secondo, denominato teorema di transizione dell'autovalore, tratta di una speciale famiglia di matrici aleatorie, di cui le matrici di Wigner fanno parte. Tutti i membri di questa famiglia sono accomunati da tre proprietà essenziali: le matrici sono simmetriche, la distribuzione dei loro autovalori tende ad una distribuzione limite a supporto compatto e la distribuzione delle matrici è ortogonalmente invariante. Sia X una matrice di dimensione n che goda di quelle tre proprietà e sia P una matrice simmetrica, sempre di dimensione n, ma di rango r, con spettro: reale, fissato e costante per ogni n. Il teorema di transizione dell'autovalore descrive il comportamento, per n che tende ad infinito, di certi autovalori di X + P. Più precisamente, il teorema mostra che quegli autovalori dovranno convergere, quasi certamente, a determinati limiti. In particolare, questi limiti saranno in esplicita dipendenza dagli r numeri reali che costituiscono lo spettro di P. Questo rende il teorema un vero e proprio metodo, che ci consentirà di ricostruire, quasi certamente, quali fossero alcuni degli autovalori di P prima che venissero perturbati.