Il problema di Cauchy per l'operatore del calore

L'operatore del calore è un operatore differenziale alle derivate parziali del secondo ordine, che viene così chiamato poiché viene utilizzato, nell'ambito dei modelli matematici, per descrivere l'evoluzione della temperatura in un mezzo termoconduttore. Spesso nei modelli matematici, oltre ad una condizione legata all'operatore del calore, si ha anche un dato iniziale (ad esempio la temperatura che misuriamo in un preciso istante) e si ha così a che fare con un problema di Cauchy. In questo lavoro studieremo l'operatore del calore e le sue soluzioni, ovvero le funzioni caloriche, esaminandone le principali proprietà. Dopodiché, ci occuperemo di studiare il problema di Cauchy per l'operatore del calore. Questo significa che studieremo l'esistenza e l'unicità delle sue soluzioni, con particolare attenzione al caso delle funzioni caloriche a valori non negativi. Infine, ci occuperemo di alcuni risultati molto importanti per le funzioni caloriche: la disuguaglianza di Harnack ed i teoremi di Liouville.