Sull'inaspettata accuratezza della quadratura di Clenshaw-Curtis

È presentata una panoramica sullo studio dell'accuratezza della formula di quadratura di Clenshaw-Curtis, soffermandosi sui principali risultati ottenuti dall'ideazione della formula ad oggi e contestualizzando questi studi con i fondamenti teorici su cui si basano. È approfondito il fenomeno per cui la formula ha un'accuratezza simile alla quadratura di Gauss per un'ampia classe di integrande, pur avendo grado di esattezza dimezzato, fenomeno osservato sperimentalmente da più autori ma spiegato rigorosamente solo nel 2008 da L. N. Trefethen, come conseguenza della proprietà di aliasing dei polinomi di Chebyshev. Per inquadrare i risultati trattati viene fatta un'introduzione al problema dell'integrazione numerica, viene descritta la formula di Clenshaw-Curtis, dando alcune delle proprietà dei polinomi di Chebyshev su cui si basa e approfondendo i suoi aspetti implementativi, in particolare l'uso della trasformata rapida di Fourier (FFT). Vengono date alcune delle stime di accuratezza, tra cui quelle proposte dagli autori della formula e quelle elaborate da H. O'Hara e F. J. Smith del 1968. Sono presentati i risultati di un confronto con la quadratura gaussiana condotto in MATLAB sul modello degli studi di Trefethen, e riportata l’analisi teorica del problema dello stesso autore che ne spiega i risultati, approfondendo la connessione con i fondamenti teorici trattati in precedenza.