il metodo delle caratteristiche

L'argomento di questa tesi è il cosiddetto metodo delle caratteristiche. Tale metodo dovuto a Lagrange, consente di risolvere un problema non lineare trasformando l’equazione alle derivate parziali in un sistema di equazioni differenziali ordinarie, detto sistema caratteristico. Nel primo capitolo richiameremo alcuni risultati da ritenersi preliminari fondamentali. Successivamente, nel Capitolo 2, introdurremo il metodo delle caratteristiche nel caso particolare di equazioni quasilineari in due dimensioni. Primariamente daremo la definizione di sistema caratteristico associato all’equazione quasilineare e le soluzioni di tale sistema si dicono linee caratteristiche. In particolare, studieremo il legame tra linee caratteristiche e soluzioni dell’equazione. All’interno di questo capitolo vedremo inoltre alcuni metodi di risoluzione diretta dell’equazione quasilineare come il metodo Lagrangiano, che consente di caratterizzare in forma implicita le soluzioni dell’equazione. Infine forniremo la definizione di problema di Cauchy associato all’equazione quasilineare e vedremo che, sotto opportune ipotesi, tale problema ammette localmente un’unica soluzione. Nel terzo capitolo ci dedicheremo alla discussione del metodo delle caratteristiche per equazioni non lineari nel caso n dimensionale. Primariamente introdurremo la nozione di sistema caratteristico associato all’equazione alle derivate parziali. Poi, impiegheremo il sistema caratteristico per determinare una soluzione locale del problema non lineare. A tale scopo saranno fondamentali il Lemma di Invertibilità locale e soprattutto il Teorema di esistenza locale. A concludere l’elaborato vi sono alcune applicazioni del Teorema di esistenza locale al caso di equazioni lineari o quasilineari. Vedremo infine una tipologia di equazioni non lineari in cui dal sistema caratteristico emerge una particolare struttura matematica, le equazioni di Hamilton.