Zambelli, Marco
(2023)
il metodo delle caratteristiche.
[Laurea], Università di Bologna, Corso di Studio in
Matematica [L-DM270], Documento ad accesso riservato.
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Abstract
L'argomento di questa tesi è il cosiddetto metodo delle caratteristiche. Tale metodo dovuto
a Lagrange, consente di risolvere un problema non lineare trasformando l’equazione alle derivate parziali in un sistema di equazioni differenziali ordinarie, detto sistema caratteristico.
Nel primo capitolo richiameremo alcuni risultati da ritenersi preliminari fondamentali.
Successivamente, nel Capitolo 2, introdurremo il metodo delle caratteristiche nel caso particolare di equazioni quasilineari in due dimensioni. Primariamente daremo la definizione di sistema caratteristico associato all’equazione quasilineare e le soluzioni di tale sistema si dicono linee caratteristiche. In particolare, studieremo il legame tra linee caratteristiche e soluzioni dell’equazione. All’interno di questo capitolo vedremo inoltre alcuni metodi di risoluzione diretta dell’equazione quasilineare come il metodo Lagrangiano, che consente di caratterizzare in forma implicita le soluzioni dell’equazione. Infine forniremo la definizione di problema di Cauchy associato all’equazione quasilineare e vedremo che, sotto opportune ipotesi, tale problema ammette localmente un’unica soluzione.
Nel terzo capitolo ci dedicheremo alla discussione del metodo delle caratteristiche per equazioni non lineari nel caso n dimensionale. Primariamente introdurremo la nozione di
sistema caratteristico associato all’equazione alle derivate parziali.
Poi, impiegheremo il sistema caratteristico per determinare una soluzione locale del problema non lineare. A tale scopo saranno fondamentali il Lemma di Invertibilità locale e soprattutto il Teorema di esistenza locale.
A concludere l’elaborato vi sono alcune applicazioni del Teorema di esistenza locale al caso di equazioni lineari o quasilineari. Vedremo infine una tipologia di equazioni non lineari in cui dal sistema caratteristico emerge una particolare struttura matematica, le equazioni di Hamilton.
Abstract
L'argomento di questa tesi è il cosiddetto metodo delle caratteristiche. Tale metodo dovuto
a Lagrange, consente di risolvere un problema non lineare trasformando l’equazione alle derivate parziali in un sistema di equazioni differenziali ordinarie, detto sistema caratteristico.
Nel primo capitolo richiameremo alcuni risultati da ritenersi preliminari fondamentali.
Successivamente, nel Capitolo 2, introdurremo il metodo delle caratteristiche nel caso particolare di equazioni quasilineari in due dimensioni. Primariamente daremo la definizione di sistema caratteristico associato all’equazione quasilineare e le soluzioni di tale sistema si dicono linee caratteristiche. In particolare, studieremo il legame tra linee caratteristiche e soluzioni dell’equazione. All’interno di questo capitolo vedremo inoltre alcuni metodi di risoluzione diretta dell’equazione quasilineare come il metodo Lagrangiano, che consente di caratterizzare in forma implicita le soluzioni dell’equazione. Infine forniremo la definizione di problema di Cauchy associato all’equazione quasilineare e vedremo che, sotto opportune ipotesi, tale problema ammette localmente un’unica soluzione.
Nel terzo capitolo ci dedicheremo alla discussione del metodo delle caratteristiche per equazioni non lineari nel caso n dimensionale. Primariamente introdurremo la nozione di
sistema caratteristico associato all’equazione alle derivate parziali.
Poi, impiegheremo il sistema caratteristico per determinare una soluzione locale del problema non lineare. A tale scopo saranno fondamentali il Lemma di Invertibilità locale e soprattutto il Teorema di esistenza locale.
A concludere l’elaborato vi sono alcune applicazioni del Teorema di esistenza locale al caso di equazioni lineari o quasilineari. Vedremo infine una tipologia di equazioni non lineari in cui dal sistema caratteristico emerge una particolare struttura matematica, le equazioni di Hamilton.
Tipologia del documento
Tesi di laurea
(Laurea)
Autore della tesi
Zambelli, Marco
Relatore della tesi
Correlatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
equazione alle derivate parziali,equazione alle derivate parziali quasilineare,equazione alle derivate parziali lineare,sistema caratteristico,linea caratteristica,equazioni caratteristiche,caratteristica,problema non lineare
Data di discussione della Tesi
22 Dicembre 2023
URI
Altri metadati
Tipologia del documento
Tesi di laurea
(NON SPECIFICATO)
Autore della tesi
Zambelli, Marco
Relatore della tesi
Correlatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
equazione alle derivate parziali,equazione alle derivate parziali quasilineare,equazione alle derivate parziali lineare,sistema caratteristico,linea caratteristica,equazioni caratteristiche,caratteristica,problema non lineare
Data di discussione della Tesi
22 Dicembre 2023
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