Teoremi di Non Unicità per Equazioni Differenziali Ordinarie

L'obiettivo di questa tesi è dimostrare che tutte le equazioni differenziali ordinarie y'=f(t,y) con la sola ipotesi di continuità di f ammettono una soluzione, ma che questa potrebbe non essere unica. Viene esposto inoltre un risultato di unicità in assenza di Lipschitzianità: questo prova che la presenza di Lipschitzianità è sufficiente ma non necessaria all'unicità. Nel primo Capitolo è presente un breve riepilogo delle nozioni fondamentali sulle equazioni differenziali e sugli spazi metrici utili alla comprensione dei temi affrontati. Nel secondo Capitolo viene studiata l’esistenza delle soluzioni di un’equazione differenziale con dati continui (Teorema di Peano). Esistono diverse strategie che permettono di individuare una soluzione approssimata. In questo elaborato analizziamo il cosiddetto metodo delle poligonali di Eulero che sostanzialmente consiste nell'approssimare le curve integrali di f con delle funzioni affini a tratti (poligonali) ottenute incollando segmenti di rette tangenti ad opportune curve integrali. Infine, negli ultimi capitoli, viene affrontato il problema dell'unicità  delle soluzioni. Infine viene studiato il fenomeno del cosiddetto "Pennello di Peano".