Varietà Differenziali & Teorema di Whitney

La teoria delle varietà differenziali serve a trasferire sugli spazi topologici le proprietà e gli strumenti del calcolo differenziale. Questa tesi si propone di studiare nel dettaglio questa struttura matematica, analizzando i concetti fondamentali che ne sottendono arrivando a dimostrare due Teoremi importanti per lo studio di questa materia: il Teorema di Sard e il Teorema di embedding di Whitney. Grazie alla definizione di varietà liscia sarà possibile introdurre la nozione di mappa liscia. Tuttavia, per poter utilizzare le varietà differenziali in modo preciso, dovremo innanzitutto estendere la nozione di vettore tangente a un punto a quella di vettore tangente a una varietà liscia tramite il concetto di operatore di derivazione e successivamente introdurre gli spazi tangenti. Studiando le mappe lisce, si possono capire diverse loro proprietà guardando solo il rango del differenziale. Sarà possibile definire quindi tre tipi di mappe lisce: le sommersioni (se il differenziale è suriettivo), le immersioni (se il differenziale è iniettivo) e gli embedding (immersioni lisce iniettive, omeomorfismi nell'immagine). Grazie a queste nozioni è stato possibile fare un passo fondamentale nello studio delle varietà lisce: il Teorema di Sard che ci dice che l'insieme dei valori critici di una funzione liscia ha misura nulla. Per comprenderlo dovremo estendere la nozione di insieme di misura nulla nello spazio euclideo a quella di insiemi di misura nulla su una varietà liscia in cui non esiste la nozione di volume. Potremo poi utilizzare la teoria delle varietà differenziali per mostrare il Teorema Fondamentale dell'Algebra. Per concludere questo elaborato mostreremo il Teorema di embedding di Whitney. Questo Teorema fondamentale per la geometria differenziale dimostra che ogni varietà liscia compatta può essere embeddata in un appropriato spazio euclideo. Lo applicheremo successivamente per mostrare l'esistenza di un embedding del Toro e della Bottiglia di Klein.