Il principio di bilanciamento per la regolarizzazione con Variazione Totale Generalizzata

In questa tesi si è trattato il problema della ricostruzione di immagini corrotte da rumore e sfocatura. Il problema della ricostruzione di immagini è un problema inverso, lineare e mal condizionato per cui, al fine di determinare una buona approssimazione dell’immagine originale, è necessario utilizzare adeguate tecniche di regolarizzazione. Tali tecniche riformulano il problema come un problema di minimo la cui funzione obiettivo contiene un termine che misura la consistenza con il dato e un termine di regolarizzazione che impone condizioni di regolarità sulla soluzione. I termini sono bilanciati da un parametro di regolarizzazione il cui valore determina la qualità della ricostruzione. La ricerca di un criterio automatico per determinare tale parametro è tutt’oggi un problema aperto fondamentale. Il lavoro svolto in questa tesi si basa sull’idea di utilizzare come termine di regolarizzazione il funzionale della Variazione Totale Generalizzata e di utilizzare come criterio di scelta del parametro di regolarizzazione il principio di bilanciamento. Sono state considerate due formulazioni del funzionale di Variazione Totale Generalizzata, prima formulando il termine di regolarizzazione in modo che fosse dipendente da un solo parametro, successivamente considerando il problema con due differenti parametri di regolarizzazione. Il principio di bilanciamento è stato utilizzato per entrambe le formulazioni del problema di minimo associato alla Variazione Totale Generalizzata ed è stata effettuata una sperimentazione numerica al fine di confrontare le due diverse formulazioni del funzionale di regolarizzazione. I risultati numerici ottenuti per due differenti immagini test mostrano come il principio di bilanciamento consenta di determinare in modo efficace i parametri di regolarizzazione e in particolare, è stato possibile osservare che i risultati migliori sono stati ottenuti con la formulazione del funzionale con due parametri di regolarizzazione.