Zelevinsky's structure theory of positive self-dual Hopf algebras.

In questa tesi presenteremo la teoria di Zelevinsky sulle algebre di Hopf positive e autoduali, una teoria da lui esposta nel suo libro Representations of Finite Classical Groups: a Hopf Algebra Approach, pubblicato nel 1981. Le algebre di Hopf costituiscono un affascinante e versatile ramo dell'algebra astratta con applicazioni in vari settori della matematica e della fisica. Oggi, esse occupano una posizione rilevante nel campo della teoria delle rappresentazioni, come si può vedere nell'applicazione della teoria di Zelevinsky allo studio delle rappresentazioni dei gruppi simmetrici. Nel Capitolo 2 ci concentreremo su uno degli esempi più elementari e interessanti di algebra di Hopf combinatoria, l'anello delle funzioni simmetriche. Analizzeremo la struttura di algebra di Hopf di \(\Lambda\), seguendo quanto fatto da Darij Grinberg e Victor Reiner nel loro articolo Hopf algebras in combinatorics. Successivamente approfondiremo come la famiglia delle funzioni di Schur emerga come \(\mathbf{k}\)-base per \(\Lambda\), esplorando anche due proprietà fondamentali di questa famiglia: l'autodualità e la positività. Nel capitolo conclusivo esporremo la teoria di Zelevinsky sulle algebre di Hopf positive e autoduali: innanzitutto esibiremo una proprietà che costringe un'algebra di Hopf ad essere un'algebra polinomiale; successivamente forniremo sia il teorema di decomposizione, sia il teorema di unicità, entrambi esposti da Zelevinsky nel primo capitolo del suo libro.