Funzioni BV e insiemi di perimetro finito

La mia tesi tratta delle funzioni a variazione limitata e dei principali risultati ad esse legati. Nel primo capitolo si richiamano alcuni concetti della teoria astratta della misura, viene introdotta la misura di Radon e si menzionano il Teorema di rappresentazione Riesz e concetti legati alla misura di Hausdorff. Il secondo capitolo inizia con l’introduzione delle funzioni a variazione limitata e degli spazi BV, si danno poi le definizioni di insieme di perimetro finito e di insieme di Caccioppoli. Si dimostra un teorema di struttura per funzioni BV che suggerisce che le derivate parziali deboli di una funzione BV sono misure di Radon. Viene dimostrato il Teorema di semicontinuità con il quale proveremo un risultato di immersione compatta di BV in L^1(Ω). Inoltre in questo capitolo si dimostra il Teorema di Anzelotti-Giaquinta che ci permette di approssimare funzioni BV con funzioni C^∞. Nel terzo capitolo si dimostra l’esistenza di superfici minime grazie ai sopracitati Teorema di compattezza e Teorema di semicontinuità. Inoltre proveremo una formula di co-area per funzioni BV , che permetterà di approssimare insiemi di perimetro finito con insiemi regolari. Sono introdotte infine disuguaglianze di tipo Sobolev e Poincarè per funzioni BV e le disuguaglianze isoperimetriche.