Teorema del Viriale e applicazioni astrofisiche

In questo breve trattato ci poniamo l'obiettivo di derivare nel modo più rigoroso possibile il teorema del Viriale per poi studiare alcune sue applicazioni astrofisiche. Nel primo capitolo discutiamo quindi la derivazione del teorema e partiamo da una veloce introduzione del problema degli N-corpi e della sua non integrabilità. Siccome vogliamo ugualmente ricavare informazioni riguardanti tale problema, introduciamo i sistemi non collisionali per semplificarlo, passando così da un approccio discreto ad uno continuo. Per distinguere se un sistema è collisionale oppure no ricaviamo il tempo di rilassamento a due corpi. Introduciamo la funzione di distribuzione f e otteniamo l'equazione non collisionale di Boltzmann, che come suggerisce il nome, è fondamentale per la descrizione dei sistemi non collisionali. Tramite l'equazione che abbiamo appena nominato, ricaviamo le equazioni di Jeans che sono molto importanti poiché mettono in relazione quantità osservabili. Infine, usiamo la seconda equazione di Jeans per ottenere il teorema del Viriale tensoriale e successivamente anche quello scalare. Nel secondo capitolo discutiamo alcune applicazioni astrofisiche del teorema del Viriale. Prima applicazione: rappresentiamo graficamente il teorema del Viriale per sistemi autogravitanti e indaghiamo qualitativamente la loro evoluzione nel caso in cui vengano riscaldati oppure raffreddati. Seconda applicazione: analizziamo l'equilibrio fra raggi cosmici, gas e campo magnetico nella nostra galassia per trarre conclusioni su di essi. Terza applicazione: ricaviamo il Tempo di Kelvin Helmholtz e lo applichiamo al Sole per vedere l'impossibilità che la sua luminosità scaturisca solo dalla contrazione. Quarta ed ultima applicazione: deriviamo il criterio di Jeans per sapere sotto che condizioni una nube in equilibrio idrostatico inizia il collasso gravitazionale per diventare una stella.