The combinatorial invariance conjecture for Kazhdan-Lusztig polynomials: a machine learning approach

L’obiettivo di questa tesi è di enunciare la congettura di invarianza combinatoria dei polinomi di Kazhdan-Lusztig, spiegarne il significato e mostrare alcuni dei risultati parziali esistenti soffermandoci su delle ricerche recenti che hanno utilizzato tecniche di machine learning per verificare la validità di tale congettura in certi casi particolari. Nel primo capitolo introduciamo i gruppi di Coxeter e l’ordine di Bruhat insieme a tutti i relativi risultati preliminari necessari per i capitoli successivi; come esempi, ci soffermiamo in particolare sul gruppo simmetrico. Nel secondo capitolo definiamo i polinomi di Kazhdan-Lusztig tramite un’altra classe di polinomi, gli R-polinomi, ed enunciamo la congettura di invarianza combinatoria presentandone anche diversi esempi. Infine, nel terzo capitolo riassumiamo qualche nozione di machine learning e illustriamo il metodo che, tramite l’utilizzo di reti neurali, ha di recente permesso di trovare nuove prove a sostegno della congettura nel caso dei gruppi simmetrici.