Il Lemma di Milnor-Švarc e le sue implicazioni geometriche e topologiche

Questa tesi ha come argomento principale il Lemma di Milnor-Švarc, un risultato fondamentale riguardante la teoria geometrica dei gruppi. Riassumendo brevemente, tale teorema afferma quanto segue. Dato un gruppo che agisce su di uno spazio metrico, se opportune ipotesi sono verificate, risulta possibile affermare che il gruppo sia finitamente generato e lo spazio metrico sia quasi-isometrico a tale gruppo. In particolare, lo scopo della tesi sarà proprio quello di chiarire il significato del concetto di quasi-isometria e di spiegare in maniera puntuale quali siano le ipotesi del teorema ed il perché queste siano necessarie, nonché mostrare alcune delle principali conseguenze del Lemma di Milnor-Švarc. Sfruttando la versione topologica del Lemma di Milnor-Švarc, saremo in grado di mostrare che se (M, g) è una varietà Riemanniana piatta, ovvero se il suo rivestimento universale è isometrico ad R^n, allora il gruppo fondamentale di M è quasi-isometrico allo spazio Euclideo. In particolare, saremo in grado di osservare che le superfici di genere g maggiore o uguale a 2 non possono essere piatte. Nella parte preliminare di questa tesi spiegheremo cosa si intende per grafo di Cayley di un gruppo finitamente generato, richiameremo brevemente i risultati fondamentali riguardanti la teoria dei rivestimenti e mostreremo alcuni risultati di geometria Riemanniana. Il secondo capitolo della tesi è totalmente incentrato sulla presentazione della "coarse geometry", spaziando tra i concetti di quasi-isometria, di metrica indotta su un grafo di Cayley arrivando, infine, alla crescita dei gruppi finitamente generati. Nel terzo capitolo verrà enunciato e dimostrato il Lemma di Milnor-Švarc nella sua versione quasi-geometrica. Nel quarto, ed ultimo, capitolo verranno presentate la sua versione topologica ed alcune rilevanti conseguenze ad essa associate.