I teoremi di Fourier-Budan e di Sturm

Il problema di trovare le radici di un polinomio a coefficienti reali riveste un ruolo fondamentale nella matematica. A partire dal metodo di Rolle, che utilizzava le derivate successive dei polinomi per localizzare le loro radici reali, sono stati fatti diversi tentativi per cercare ottenere il numero esatto di radici reali di un polinomio reale. All’inizio dell’800 Jean-Baptiste Fourier propose un approccio, sempre basato sull’utilizzo delle derivate successive del polinomio, che forniva solo una limitazione superiore al numero delle radici contenute in un intervallo. Nel 1807 Budan giunse a risultati simili a quelli di Fourier. Oggi il loro risultato è noto come Teorema di Fourier-Budan. Nel 1829, Christian Sturm, sfruttando una successione di resti ottenuti tramite un’astuta applicazione dell'algoritmo euclideo della divisione, riuscì a calcolare il numero esatto di radici reali di un polinomio in un dato intervallo. Questo lavoro presenta i teoremi di Fourier-Budan e di Sturm e numerosi esempi di applicazione degli stessi. Viene anche illustrata una condizione sufficiente perché le radici di un polinomio siano tutte reali.