L’Integrale di Riemann-Stieltjes

L'integrale di Riemann-Stieltjes è un prezioso strumento di Analisi Matematica che costituisce una generalizzazione dell'integrale standard di Riemann. Le sue applicazioni spaziano dagli ambiti dell'Analisi Numerica alla Teoria della Probabilità, dall'Analisi Compless alle Equazioni Differenziali. Ad eccezione della formula di somma di Eulero e di un risultato che usa l'integrale di Riemann-Stieltjes per calcolare una qualsiasi somma finita di termini, all'interno di questo elaborato si troveranno principalmente dei risultati di teoria che ricorrono all'uso di funzioni integratrici crescenti e a variazione limitata. L'obiettivo di questa Tesi è quello di descrivere le principali proprietà dell'integrale di Riemann-Stieltjes per poi concludere con un confronto delle due diverse definizioni che si possono incontrare nella letteratura; queste ultime vengono associate talvolta ai nomi di Darboux e Cauchy. Vengono mostrati inoltre i teoremi analoghi della teoria dell'integrazione di Riemann, riadattati alla teoria di Stieltjes. Sono presenti anche dei teoremi che riguardano il passaggio del limite sotto il segno dell'integrale e teoremi di tipo riduzione. Per finire è presente un'appendice sul notevole Teorema di Vitali-Lebesgue.