La Trasformata di Laplace e Alcune Applicazioni

La trasformata di Laplace è una trasformata integrale particolarmente utile per la risoluzione di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti (di solito accompagnate dai valori iniziali). Proprio per questo, trova grande applicazione in molte aree scientifiche, quali la fisica e l'ingegneria. All'interno di questo elaborato ci si propone di descrivere le principali proprietà della trasformata di Laplace e, soprattutto, di ricavare una formula di inversione per ottenere la funzione iniziale a partire dalla conoscenza della sua trasformata. Tale formula è nota con il nome di formula di Riemann-Fourier e viene ricavata, nel corso dell'elaborato, sfruttando lo stretto legame che la trasformata di Laplace ha con quella di Fourier (altra famosa trasformata integrale). Infine, vengono presentate delle applicazioni, in cui si mostra come utilizzare la trasformata Laplace in varie situazioni per trovare la soluzione di un dato problema. Si vede, ad esempio, come risolvere con essa il problema della tautocrona e come ricavare la legge oraria di un oscillatore forzato.