L'Integrale di Perron: una Estensione dell'Integrale di Lebesgue, e Applicazioni

Il matematico tedesco Oscar Perron, tra il 1910 e il 1914, introduce l'integrale che porterà il suo nome con lo scopo di risolvere una limitazione negli integrali di Riemann e di Lebesgue. Il primo a studiare questo integrale è Denjoy nel 1912 il cui integrale si dimostrerà essere equivalente a quello di Perron. Oggi è più utilizzato l'integrale di Henstock-Kurzweil, studiato negli anni '60, anch'esso equivalente ai due precedenti. L'integrale di Perron rende integrabili tutte le funzioni che sono la derivata di una qualche funzione e restituisce l'analogo del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale nella versione di Torricelli-Barrow. L'integrale di Perron estende e prolunga l'integrale di Lebesgue, infatti se una funzione è sommabile secondo Lebesgue è anche Perron-integrabile e i due integrali coincidono. Per le funzioni non negative vale anche il viceversa e i due integrali sono equivalenti, ma in generale non è così, esistono infatti funzioni Perron-integrabili ma non sommabili secondo Lebesgue. Una differenza tra questi due integrali è il fatto che quello di Perron non sia un integrale assolutamente convergente, ovvero, la Perron integrabilità di una funzione non implica l'integralità del suo valore assoluto; questa è anche in parte la ragione della poca diffusione di questo integrale. Chiudono la tesi alcuni esempi di funzioni di interesse per la formula di "Torricelli-Barrow" e anche un notevole teorema che non sempre si trova nei libri di testo: se una funzione è derivabile in ogni punto del dominio e la sua derivata prima è sommabile allora vale la formula di "Torricelli-Barrow".