Teoria spettrale di una passeggiata aleatoria ipoellittica e convergenza all'equilibrio

L'obiettivo dell'elaborato è quello di studiare le proprietà spettrali di un'operatore di Markov associato ad una passeggiata aleatoria ipoellittica dipendente da un parametro h, sufficientemente piccolo, e costruita su una varietà liscia finito-dimensionale, connessa, compatta e senza bordo. Nell'affrontare tale problema si utilizza una tecnica di Rothschild e Stein, basata sulla costruzione di un'algebra di Lie graduata. Si ottiene in questo modo una corrispondenza tra la varietà e l'algebra di Lie, e si utilizza la struttura che quest'ultima presenta per studiare il problema su di essa. Il risultato principale a cui si vuole giungere tramite l'analisi spettale dell'operatore di Markov è una stima, uniforme rispetto ad h, per il tasso di convergenza di tale passeggiata aleatoria verso l'equilibrio, al tendere del numero dei passi all'infinito. Tramite l'approccio utilizzato si giunge inoltre ad un risultato di convergenza della catena di Markov ad una diffusione ipoellittica continua al tendere di h a 0.