Anelli noetheriani e anelli artiniani

In questa tesi vengono studiati anelli commutativi unitari in cui ogni catena ascentente o ogni catena discendente di ideali diventa stazionaria dopo un numero finito di passi. Un anello commutativo unitario R in cui vale la condizione della catena ascendente, ossia ogni catena ascendente di ideali a_1 ⊆ a_2 ⊆ · · · ⊆ R diventa stazionaria dopo un numero finito di passi, o, equivalentemente, in cui ogni ideale è generato da un numero finito di elementi, si dice noetheriano. Questa classe di anelli deve il proprio nome alla matematica tedesca Emmy Noether che, nel 1921, studiando un famoso risultato di Lasker per ideali di anelli di polinomi, si accorse che esso valeva in tutti gli anelli in cui gli ideali sono finitamente generati. Questi anelli giocano un ruolo importante in geometria algebrica, in quanto le varietà algebriche sono luoghi di zeri di polinomi in più variabili a coefficienti in un campo K e le proprietà degli ideali dell’anello K[x_1, . . . , x_n] si riflettono nelle proprietà delle varietà algebriche di K^n. Inoltre, per questi anelli esistono procedure algoritmiche che sono possibili proprio grazie alla condizione della catena ascendente. Un anello commutativo unitario R in cui vale la condizione della catena discendente, ossia ogni ogni catena discendente di ideali . . . a_2 ⊆ a_1 ⊆ R diventa stazionaria dopo un numero finito di passi, si dice artiniano, dal nome del matematico austriaco Emil Artin che li introdusse e ne studiò le proprietà. Il Teorema di Akizuki afferma che un anello commutativo unitario R è artiniano se e solo se è noetheriano di dimensione zero, ossia ogni suo ideale primo è massimale.