Tassellamenti euclidei e tassellamenti iperbolici

In questa tesi si ripercorre la teoria assiomatica di Hilbert e si costruiscono modelli in cui valgono i primi quattro gruppi di assiomi, con eventualmente l'aggiunta di altri assiomi come l'archimedeo e l'euclideo. La tesi prosegue con lo studio dell'inversione circolare e della costruzione del piano di Poincaré, discutendo la validità degli assiomi di Hilbert in questo modello. Sono poi descritti i possibili reticoli di un rivestimento periodico del piano, da cui si ricavano le possibili forme della tessera di un tassellamento regolare del piano, cioè di un tassellamento in cui le tessere sono poligoni regolari tutti congruenti e concorrenti nello stesso numero in ogni vertice; si osserva come vi siano solo tre casi possibili, e se ne analizzano alcuni esempi attraverso opere di M.C.Escher. Nell'ultimo capitolo si studiano i tassellamenti regolari del piano di Poincaré. In questo caso vi sono infinite possibili scelte del poligono-tessera; se ne osservano alcuni esempi, si trattano i tassellamenti duali e i tassellamenti di ordine infinito. Si applicano poi i risultati ottenuti per studiare la serie di quattro di opere di M.C.Escher denominate Limite del Cerchio I-IV, individuando i tassellamenti dei quali l’artista si è servito per realizzare i disegni. Infine si prendono in esame alcune opere di Escher, già analizzate come tassellamenti del piano euclideo, "trasportandole" nel piano di Poincaré, e osservando come il tassellamento cambi al variare della struttura geometrica in cui è ambientata l’opera.