Multilevel methods in image restoration problems

Il presente lavoro è la prosecuzione dell’attività di due mesi di tirocinio svolto presso la École Normale Supérieure (ENS) di Lione, in collaborazione col team di ricerca DANTE (Dynamic Network), in particolare, con la Professoressa Elisa Riccietti, e i Professori Nelly Pustelnik e Paulo Goncavels. La prima parte del presente elaborato introduce il problema inverso per la ricostruzione di immagini e alcuni metodi numerici utilizzati per risolverlo, focalizzandosi in particolare, sugli algoritmi di ottimizzazione del gradiente. In seguito, viene trattata la teoria dei metodi multilivello, dapprima in generale e poi, adattati al problema inverso per la ricostruzione di immagini: infatti nel corso dello stage si è cercato di sviluppare, sia dal punto di vista teorico che implementativo, un algoritmo multilivello come alternativa ai metodi già esistenti, al fine di ricostruire immagini degradate. Una prima versione di tale algoritmo MGM (Multilevel Gradient Method) elaborata durante lo stage, viene presentata in dettaglio e testata in diverse applicazioni reali nell’ambito della ricostruzione di immagini. I risultati ottenuti durante le simulazioni sono analizzati e confrontati con i metodi di ottimizzazione non vincolata noti in letteratura. L’ultima parte dell’elaborato illustra brevemente la teoria delle wavelets, strumento ampiamente utilizzato per processare immagini, in quanto consente di ottenerne una rappresentazione "sparsificata", mantenendone intatte le principali caratteristiche. Considerando le wavelets da una nuova prospettiva, è stato possibile definire degli operatori integrabili nello schema del multilvello al fine di trasferire informazioni da un livello di approssimazione minore ad uno maggiore e viceversa. Grazie all’utilizzo delle wavelets nel nuovo contesto, si è potuta sviluppare una seconda versione dell’algoritmo MGM, che viene presenta e paragonata alla prima.