Funzioni a variazione limitata

La seguente tesi di laurea triennale in Matematica inizia da argomenti visti durante il corso universitario, in particolare la teoria della misura, per approfondirli in modo da trarne gli strumenti volti ad essere punto di partenza per lo studio delle funzioni a variazione limitata o funzioni BV (Bounded Variation). Nella sezione iniziale sono dettagliate le nozioni di misura per insiemi con relative proprietà e approssimazioni, aggiungendo alcuni esempi di misure particolari, come quella di Hausdorff. La sezione successiva, il corpo della tesi, si occupa di analizzare le funzioni a variazione limitata, e consiste di teoremi necessari al loro studio, come il teorema di Struttura e di Semicontinuità Inferiore, ed alcuni esempi. Si sono poi descritti risultati di approssimazione di funzioni BV tramite funzioni regolari (Teorema di Anzellotti-Giaquinta, analogo al Teorema di Meyers-Serrin per gli spazi di Sobolev), si è studiata la compattezza, la nozione di perimetro e le sue proprietà. Il lavoro è proseguito con lo studio delle disuguaglianze isoperimetriche, per giungere infine alla verifica dell’esistenza della minimizzazione del perimetro stesso sotto opportune condizioni al bordo. Data la vastità dell’argomento trattato, si è aggiunta un’appendice per meglio dimostrare risultati strumentali utilizzati per lo studio delle funzioni BV, come il teorema di Rappresentazione di Riesz, necessario per il teorema di Struttura. In particolare si sono poi volute sottolineare le somiglianze, e le differenze, tra i risultati di compattezza per funzioni BV e quelli per spazi di Sobolev, sfruttando la disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev.