Misura di Hausdorff e disuguaglianza isodiametrica

Tra i risultati più importanti del matematico tedesco Felix Hausdorff si colloca le definizione della misura di Hausdorff. Studieremo tale misura, definita in termini di arbitrari ricoprimenti di piccolo diametro. L'obiettivo di questo lavoro è quello di dimostrare che ogni sottoinsieme di R^n verifica la disuguaglianza isodiametrica, anche nota come disuguaglianza di Bieberbach, importante risultato che utilizzeremo per mostrare che la misura di Hausdorff è una generalizzazione della tradizionale nozione di misura di Lebesgue per dimensioni non intere. Si richiameranno alcune nozioni e i principali risultati della teoria della misura, ricordando in particolare la definizione della misura di Lebesgue; introdurremo poi la definizione di misura di Hausdorff per enunciarne e descriverne le proprietà. Ci occuperemo di studiare la simmetrizzazione di Steiner, strumento fondamentale per dimostrare la disuguaglianza isodiametrica: il processo di simmetrizzazione permette di rendere un insieme simmetrico rispetto ad un piano, conservando la misura dell'insieme di partenza. Introdurremo la definizione di dimensione di Hausdorff, enunciando alcune importanti proposizioni. Studieremo la misura dell'immagine di isometrie, traslazioni e funzioni Lipshitziane, mostrando in particolare che la misura di un insieme è invariante per isometrie. Vedremo infine un modo esplicito per calcolare la misura di Hausdorff dei sottoinsiemi piatti.