Partizioni Piane: Funzione Generatrice e Formula Ricorsiva

L’elaborato introduce il problema di conteggio delle partizioni piane, le quali si possono rappresentare intuitivamente come configurazioni di n cubi di uguali dimensioni spinti ordinatamente nell’angolo di una stanza, e costituiscono una generalizzazione delle più note partizioni di interi, alle quali è dedicata una digressione nel secondo capitolo. Dopo aver raccolto gli opportuni strumenti algebrici e combinatorici nei capitoli terzo e quarto, si procede individuando una formula chiusa per la funzione generatrice delle partizioni piane con dei vincoli sulle dimensioni. La prova si compone in parte del Teorema di Viennot-Gessel, illustrato nel quinto capitolo, che sfrutta una corrispondenza tra le partizioni piane limitate e gli insiemi di cammini innestati su reticoli bidimensionali; e in parte da trasformazioni algebriche, che si servono tra le altre cose della formula di Krattenthaler per i determinanti. A partire da questo risultato si arriva, nell’ultimo capitolo, ad una formula chiusa per la funzione generatrice delle partizioni piane nel caso generale, dalla quale discende una formula di ricorrenza che permette di calcolare in maniera efficiente la soluzione del problema con n cubi, che è anche lo scopo della tesi.