On the Palatini formulation of general relativity

In questo lavoro presentiamo la formulazione di Palatini della Relatività Generale. Per fare ciò, discutiamo le nozioni di base della teoria delle varietà differenziabili e della geometria (pseudo-)Riemanniana. In particolare, ci concentriamo sui fibrati vettoriali e sul concetto di connessione. Quest'ultimo è analizzato sia nel caso particolare di una connessione affine, ovvero sul fibrato tangente ad una varietà, sia nel caso generale di una connessione su un fibrato vettoriale arbitrario. Mentre la geometria Riemanniana e la Relatività Generale sono state storicamente sviluppate attraverso il calcolo tensoriale, noi seguiamo l'approccio di cui Elie Cartan, nel XX secolo, fu pioniere. Questo approccio individua le forme differenziali come oggetti fondamentali della teoria e risulta fondamentale nella costruzione dell'azione di Palatini. Di conseguenza, dedichiamo ampio spazio alla descrizione della connessione come forma differenziale, insieme alle forme di curvatura e di torsione. Prima di introdurre il formalismo di Palatini, richiamiamo brevemente le idee fisiche che hanno ispirato la Relatività Generale, come il Principio di Equivalenza, e mostriamo come si possano estrapolare le equazioni di Einstein a partire dall'equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale. Infine, utilizziamo il formalismo di Cartan per derivare l'azione di Palatini e mostriamo come dalla variazione di quest'ultima sia possibile ritrovare le equazioni di Einstein.