Quantum Random Walk e localizzazione di Anderson

I due nuclei tematici principali del presente elaborato sono il modello del Quantum Random Walk (QRW) e il fenomeno della localizzazione di Anderson, i quali vengono prima trattati separatamente nei loro aspetti più rilevanti e in seguito ne viene esaminata la relazione reciproca. In particolare, dopo una breve introduzione sul Random Walk classico, si espone la formalizzazione teorica del QRW e si procede ad un'analisi dettagliata della distribuzione di probabilità del processo, con maggiore attenzione rivolta al QRW di Hadamard. La localizzazione di Anderson viene illustrata a partire dal modello tight-binding di un elettrone in un reticolo, di cui si affronta sia la versione in assenza di disordine che quella 1D disordinata, con inizialmente una descrizione di natura teorica e dopo uno studio di tipo numerico basato su diversi metodi computazionali. L'ultima parte è dedicata alla connessione tra i due argomenti e rappresenta il punto di arrivo dell'intero elaborato, dal momento che essa verte sulla localizzazione di Anderson per un QRW 1D con disordine. Viene presentato il modello e si ricavano risultati analitici che caratterizzano le proprietà di localizzazione del sistema, con approfondimento dei casi di disordine completo e di disordine debole. Anche nel capitolo finale è riservato spazio alle simulazioni, che vengono impiegate per studiare numericamente la localizzazione e per verificare la correttezza degli esiti dei calcoli teorici.