Il problema di Dirichlet per le funzioni armoniche

Lo scopo di questa trattazione è ottenere una soluzione del problema di Dirichlet. Nel primo capitolo dopo aver introdotto nozioni e risultati fondamentali per lo studio delle funzioni armoniche abbiamo determinato le funzioni radiali che risolvono l’equazione di Laplace e una soluzione dell’equazione di Poisson. Il secondo capitolo è dedicato alle formule di media di superficie e volume. Grazie a queste deduciamo importanti risultati come il principio del massimo forte , l’infinita differenziabilità delle funzioni armoniche e il teorema di Liouville. Il fulcro della trattazione è il capitolo 5, in cui introducendo la funzione di Green, riusciamo ad ottenere una formula di rappresentazione per la soluzione di un problema più generale che coinvolge l'equazione di Poisson. In particolare otteniamo una formula esplicita della soluzione del problema di Dirichlet per la palla di raggio unitario. Nell’ultimo capitolo forniamo una prova alternativa dell’unicità della soluzione del problema più generale, osservando poi che tale soluzione può essere caratterizzata come il valore che minimizza il funzionale Energia di Dirichlet.