Teoria della Relatività e Geometrie dell'Universo

La seguente tesi vuole evidenziare il profondo legame tra la fisica e la geometria presentando la Teoria della Relatività di Einstein e rimarcandone la natura geometrica. Nella prima parte si forniscono gli strumenti matematici necessari alla modelizzazione di uno spazio curvo, più generale del classico spazio piatto Euclideo, e si descrivono oggetti dell'algebra multilineare - i tensori - utili a formalizzare l'invarianza delle leggi fisiche per diversi osservatori. Si rimarcherà come le quantità invarianti abbiano un ruolo quasi secondario in una teoria fisica rispetto alle relazioni covarianti e si estenderà la nozione di differenziazione nota per i campi vettoriali a campi tensoriali definiti su generici spazi curvi. Nella seconda parte si presenta la Relatività Ristretta, non nel modo in cui fu diffusa originariamente da Einstein, bensì alla maniera di Minkowski, che è stato il primo a darne una profonda interpretazione geometrica, gettando le basi per la sua futura generalizzazione. Tramite il formalismo tensoriale, si vede come la Relatività Ristretta costituisca solo un'approssimazione locale di una geometria globalmente più complessa, che risulta distendersi su uno spazio-tempo quadrimensionale curvo. Nella terza parte si costruisce la Relatività Generale, teoria geometrica della gravità, e si deducono le equazioni differenziali per il campo gravitazionale, le cui soluzioni costituiscono una possibile metrica dello spazio-tempo nonché del campo gravitazionale stesso. Si presenta, quindi, la soluzione di Robertson-Walker per un modello cosmologico di universo omogeneo e isotropo che risulta essere dinamico, non statico, e, ancora mediante argomentazioni tensoriali, si conclude che la sua curvatura deve necessariamene essere costante. Da qui si deducono le possibili geometrie dell'universo e mediante le equazioni di Friedmann si accenna allo studio dell'evoluzione temporale di uno spazio-tempo piatto, sferico o iperbolico.