La Matematica Dei Frattali

Questa tesi nasce dal desiderio di studiare dal punto di vista matematico i frattali, definiti in questo elaborato come figure geometriche caratterizzate dall’avere dimensione di Hausdorff (ovvero non hanno dimensione "usuale") e dall’essere autosimilari (ovvero che visti da scale diverse offrono sempre la stessa immagine). Nel primo capitolo viene fatta una breve introduzione sulle misure astratte per poi definire la misura di Hausdorff e le sue proprietà, ad esempio come si comporta con le funzioni lipschitziane. Successivamente viene definita la dimensione di Hausdorff e vengono introdotti due frattali: l’insieme di Cantor, del quale viene calcolata la dimensione di Hausdorff applicando la definizione, e il tappeto di Sierpinski. Nel secondo capitolo vengono introdotte le contrazioni e la definizione di insieme autosimilare. Successivamente viene enunciato un importante teorema che lega l’autosimilarità e la dimensione di Hausdorff, per poi applicarlo a diversi frattali. Infine nel terzo capitolo vengono descritti brevemente alcuni insiemi particolarmente interessanti: gli insiemi di Mandelbrot e di Julia (considerati frattali per la loro frastagliatura e per il fatto che pur non essendo autosimilari, la struttura di partenza si può ritrovare a tutte le scale), concludendo con tre esempi di insiemi di Julia con il codice matlab associato.