Il ruolo della fluidodinamica iperbolica nei modellamenti matematici dei processi chemiotattici nel sangue o in ambito biomedico

In questa tesi ci occupiamo di modelli matematici usati per descrivere i processi di natura chemiotattica. In primis parliamo del modello parabolico pionieristico per la chemiotassi di Keller-Segel, che però ignora l'inerzia e non è in grado di riprodurre la formazione di reticoli, che avviene durante la vasculogenesi, un processo molto importante durante la crescita di un tumore. Per studiare questi fenomeni sono stati introdotti recentemente nuovi modelli idrodinamici (iperbolici). Noi ci concentriamo sul modello idrodinamico iperbolico-parabolico di Chavanis e Sire. Confrontiamo i risultati dell'analisi della stabilità lineare con gli analoghi del modello di Keller e Segel e procediamo anche ad un confronto con il modello di Jeans per l'instabilità gravitazionale, in quanto collasso gravitazionale e collasso chemiotattico condividono molte analogie. Mostriamo che gli aspetti dissipativi presenti nel modello di Chavanis e Sire sono stabilizzanti, infatti la soglia critica per l'insorgenza del collasso chemiotattico risulta inferiore alla soglia critica del modello di Jeans. Il sangue è un fluido complesso, generalmente non newtoniano e con comportamento viscoelastico, quindi, per descrivere i fenomeni chemiotattici, generalizziamo il modello di Chavanis e Sire, prima aggiungendo aspetti viscosi che non alterano le condizioni di stabilità, ma rendono il modello parabolico e, poi, focalizzandoci sul modello viscoelastico di Maxwell, che dimostriamo essere iperbolico mediante la teoria delle superfici caratteristiche e che quindi ci permette di rispettare le motivazioni dei due autori. Dimostriamo, nel caso del modello di Jeans in astrofisica, che il comportamento viscoelastico è anche stabilizzante. Infine, pensando a recenti ricerche mediche legate all'aggregazione dell'Escherichia Coli, ci chiediamo se un ritardo di risposta come quello fornito dal modello di Maxwell, possa agire come un "salva vita", ritardando l'insorgenza del collasso chemiotattico.