Gruppi di riflessione finiti

Lo scopo di questa tesi è studiare i gruppi di riflessione finiti. Considereremo un gruppo $W$ generato dalle riflessioni rispetto a un insieme finito di iperpiani e a questo assoceremo una geometria dividendo lo spazio euclideo in celle e camere. Le proprietà e le relazioni tra esse verranno esaminate nel primo capitolo, dove verrà inoltre introdotto il poset $\Sigma$ delle celle ordinate secondo la relazione delle facce. Verranno poi presentate le nozioni di adiacenza tra camere e gallerie, con i relativi risultati: questi saranno fondamentali per le dimostrazioni nel prosieguo della trattazione. \\Il secondo capitolo è incentrato sullo studio dell'azione di $W$ su $\Sigma$; in particolare, la quasi totalità della prima sezione sarà dedicata alla dimostrazione del Teorema \ref{2.1.3}, che ci dà informazioni sui generatori e sulla transitività dell'azione di $W$. Seguiranno quindi degli esempi per visualizzare geometricamente i concetti e per introdurre l'ultima sezione del capitolo, ovvero la presentazione di $W$ tramite la matrice di Coxeter. \\Nel terzo e ultimo capitolo adotteremo un punto di vista diverso, cioè guarderemo $\Sigma$ come complesso simpliciale. L'obiettivo è mostrare che per conoscere $\Sigma$ è sufficiente studiare il sistema di camere ad esso associato, senza prendere in considerazione le celle più piccole: questo fatto verrà dimostrato per i complessi camera, però vedremo che $\Sigma$ è uno di questi, dunque seguirà automaticamente il risultato.