The Krylov Equation and Filtering of Stochastic Diffusion Processes

La presente tesi ha lo scopo di analizzare alcuni aspetti rilevanti della teoria delle equazioni differenziali stocastiche e, partendo da essi, ricavare risultati di esistenza e unicità, formule di rappresentazione per soluzioni di SPDE e proprietà notevoli sull'attesa e la misura condizionata legate al problema del filtering di un processo stocastico. Nella prima parte, dopo aver dato la definizione di integrale di Ito backward e di spazio di Sobolev pesato, studieremo sotto quali ipotesi una particolare SPDE, detta equazione di Krylov, ammette soluzione r-generalizzata e classica. Nella seconda parte verranno invece illustrati alcuni risultati riguardanti il problema del calcolo dell'attesa condizionata di un processo stocastico diffusivo X rispetto a una sigma-algebra generata da un processo osservabile Y, evidenziando il legame tra la densità di filtering associata alla misura condizionata di X e le soluzioni r-generalizzate di problemi di Cauchy di tipo forward e backward.