Generalizzazione degli sviluppi di Sommerfeld e singolarità di Van Hove

L'obiettivo della tesi è l'analisi delle funzioni termodinamiche di sistemi fermionici a basse temperature, nei casi in cui la densità degli stati presenta singolarità integrabili nel livello di Fermi. Nella prima parte vengono inquadrati i princìpi fondamentali dei Fermioni, seguendo la strada che, dalla Statistica di Fermi-Dirac, ha portato alla descrizione formale dei gas fermionici. Nella seconda parte si mostrano le caratteristiche portanti dei reticoli cristallini e si descrive il comportamento degli elettroni in tali strutture. Con il teorema di Bloch si formalizzano le proprietà ondulatorie dei gas elettronici e il loro legame con le simmetrie dei reticoli. Nella terza parte viene introdotto il concetto di densità degli stati energetici, in cui si manifesta la dipendenza da una funzione -detta relazione di dispersione- che collega energia e proprietà ondulatorie prima citate. E' proprio in tale relazione il nucleo del comportamento della densità degli stati, infatti in condizioni legate a certe simmetrie dei reticoli essa perde di regolarità, in punti denominati "Singolarità di Van Hove". Nell'ultima parte si mostrano le modalità di calcolo delle funzioni termodinamiche, analizzando il caso generale in cui la densità degli stati è una funzione regolare, per cui si ricorre agli "Sviluppi di Sommerfeld" per far emergere il comportamento a basse temperature. Si propone quindi un metodo per trovare l'espressione di alcune funzioni - quali potenziale chimico, energia interna del reticolo e lunghezza di schermaggio - nei casi in cui le singolarità cadono sul livello di Fermi, citando i casi più rilevanti fisicamente. Si pone poi l'accento sulla lunghezza di schermaggio, in quanto di grande rilevanza in fenomeni come la superconduttività; ne emergergono comportamenti differenti a seconda del tipo di singolarità, che influisce sulla capacità del reticolo di attenuare un campo elettrico esterno. Tali risultati sono infine rappresentati in una tabella comparativa.