Reticoli distributivi, reticoli modulari e reticoli geometrici.

In questa tesi si presentano principalmente tre classi di reticoli: quelli distributivi, quelli modulari e quelli geometrici. Siccome i reticoli sono degli insiemi parzialmente ordinati che soddisfano certe proprietà, nel primo capitolo si richiamo alcuni concetti fondamentali della teoria dell'ordine. Il secondo capitolo si apre con la definizione classica di reticolo distributivo. Successivamente ci si è soffermati sulla decomposizione degli elementi in sup-irriducibili, che nei reticoli distributivi risulta essere ben definita ed unica per ogni elemento. Alla luce di ciò si caratterizzano tali reticoli in tre modi differenti: come reticolo degli ideali d'ordine, come prodotto di catene e attraverso identità soddisfatte dalla funzione rango. Il terzo capitolo riguarda i reticoli modulari e semimodulari. Grazie al teorema di isomorfismo canonico vengono caratterizzati i reticoli modulari per mezzo di due morfismi di reticoli. In questi reticoli viene meno l'unicità della decomposizione in sup-irriducibili ma risulta comunque soddisfatta la proprietà di scambio. Vengono poi definiti i reticoli semimodulari. Il capitolo si conclude dando una caratterizzazione dei reticoli modulari e semimodulari per mezzo di identità soddisfatte dalla funzione rango, che si dimostra essere ben definita in entrambi i casi. Il quarto capitolo riguarda la classe più generica, quella dei reticoli geometrici. Vengono definiti alcuni oggetti (matroidi, reticoli complementati e relativamente complementati) grazie ai quali si riescono a dedurre proprietà e dare nuove caratterizzazioni di tali reticoli. Nel quinto capitolo vengono approfonditi alcuni esempi precedentemente citati: le catene, il reticolo dei divisori, l'algebra di Boole, il reticolo dei sottospazi di uno spazio vettoriale e il reticolo delle partizioni; in particolare gli elementi di ogni reticolo vengono classificati in base al loro rango.