Superfici rigate con mappa di Gauss degenere

Obiettivo di questa tesi è studiare la relazione tra le superfici rigate sviluppabili e la mappa di Gauss. Una superficie rigata è, in maniera euristica, una superficie ottenuta da una retta che si muove nello spazio. Alcune di queste superfici vengono dette sviluppabili: sono le superfici rigate che godono della proprietà di essere localmente isometriche ad un piano. Intuitivamente ciò vuol dire che possono essere localmente “srotolate” su un piano: ne sono un esempio i coni e i cilindri. Per mappa di Gauss in geometria differenziale classica si intende una mappa che (almeno localmente) a ogni punto della superficie assegna un versore normale alla superficie. Tuttavia per i nostri scopi sarà più utile considerare una generalizzazione di tale mappa: considereremo una mappa che a ogni punto di una superficie associa il suo piano tangente. Diremo poi che una mappa di Gauss è degenere per una superficie quando la dimensione dell'immagine della superficie ottenuta attraverso la mappa di Gauss è minore della dimensione della superficie. Vedremo sostanzialmente che una superficie rigata è sviluppabile se e solo se ha mappa di Gauss degenere e che questa condizione non vale solo in R^3 ma anche in P^3(C).