Geodetiche e mappa esponenziale

Le geodetiche possono essere considerate come la naturale generalizzazione alle superfici differenziabili delle rette del piano euclideo. Tuttavia, per le geodetiche, non valgono tutte le proprietà delle rette. Infatti, se consideriamo due punti su una superficie qualsiasi dello spazio tridimensionale non è sempre vero che esiste una curva di lunghezza minima che li congiunge e, se esiste, potrebbe non essere unica. Questo lavoro ha come obiettivo quello di studiare alcune proprietà delle geodetiche utilizzando strumenti di geometria differenziale tra cui la mappa esponenziale. Prima verranno studiate le geodetiche da un punto di vista locale e, in particolare, verrà dimostrato il fatto che, localmente, una curva con velocità costante in una superficie regolare è una geodetica se e solo se minimizza la distanza. Poi si studieranno le superfici da un punto di vista globale con l’obiettivo di fornire una condizione sufficiente per l’esistenza di una geodetica che minimizza globalmente la distanza (teorema di Hopf-Rinow).